Vérification des détails critiques des structures existantes par la méthode des champs de contraintes élastiques - plastiques

• Forschungsstelle: ASTRA SBT
• Projektnummer: AGB2009/009

Schlüsselwörter (Englisch)

Assessment of existing structures, concrete bridges, critical details, Gerber hinges, diaphragms, support regions, shear force – transverse bending interaction, design meth

Schlüsselwörter (Französisch)

Vérification de structures existantes, Ponts en béton armé, Détails critiques, Articulations Gerber, Entretoises, Zones d’appui, Interaction effort tranchant – flexion transversale, Méthodes d’analyse

Kurzbeschreibung (Englisch)

The assessment of critical details of existing structures is usually performed on the basis of strut-and-tie or rigid-plastic stress fields modeling (theory of plasticity). These methods have the advantage that they allow performing a systematic and consistent assessment of a wide number of critical regions: webs of prestressed bridges, shear force – transverse bending interaction, diaphragms and zones of indirect support, spreading of concentrated loads (bearings or prestressing), Gerber hinges, piles, clamping details of piles in diaphragms and foundations, cantilever beams, etc.

These methods based on the theory of plasticity have, however, certain disadvantages as some simplifying assumptions are required, which often leads to the fact that all strength reserves cannot be easily considered, and also leads to a fairly large scatter of the results. A comparison with tests on prestressed girders showed that these reserves can vary between 0 and 40%.

The method of elastic-plastic stress fields offers an interesting alternative. The validation of this method in the case of prestressed girders showed that all reserves can be considered, reaching a mechanism according to the theory of plasticity. Furthermore, the strengths thus calculated correspond very well to the values measured in tests. The application of this method thus allows assessing the structural safety of existing structures with a better reliability and to avoid costly unnecessary strengthenings. This method is not intended to replace simple methods, but rather to offer an additional tool for critical cases.

In the framework of the proposed research project, we will consider other cases, as for instance the effect of transverse bending, diaphragms, zones of introduction and of diffusion of concentrated loads, Gerber hinges, girders endings with problematic anchorage zones and other similar details. In these cases, we will validate the method, investigate its limits of application, and develop indications pertaining to the effective concrete strength and the limit values of the angle of inclination of compressive struts. For frequent cases, rigid-plastic solutions inspired from the elastic-plastic solutions will be developed.

The effect of transverse bending on the actual behaviour of box-girder bridges will be investigated. Indications for simplified checks using rigid-plastic stress fields will be proposed.

Kurzbeschreibung (Französisch)

La vérification des détails critiques des structures existantes est faite généralement par la méthode des bielles-et-tirants ou des champs de contraintes rigides – plastiques (théorie de la plasticité). Ces méthodes ont le grand avantage de permettre une vérification systématique et consistante d’un grand nombre de détails critiques de ponts existants : âmes de ponts en béton armé précontraint, interaction entre l’effort tranchant et la flexion transversale, entretoises et détail de la suspension de l’effort, zones d’introduction et de diffusion des efforts concentrés (forces d’ancrage des câbles et réactions d’appui), articulations Gerber, piles, détail d’encastrement des piles dans les entretoises et dans les fondations, consoles, etc.

Ces méthodes basées sur la théorie de la plasticité présentent néanmoins certains désavantages puisque certaines hypothèses simplificatrices doivent être faites de sorte qu’il est souvent difficile de considérer toutes les réserves et la dispersion des résultats est importante. Une comparaison avec des essais effectués sur des poutres précontraintes a montré que ces réserves peuvent varier entre 0 et 40%.

Une alternative intéressante est représentée par la méthode des champs de contraintes élastiques-plastiques. La validation de cette méthode dans le cas des poutres précontraintes a montré que toutes les réserves peuvent être considérées jusqu’atteindre un mécanisme selon la théorie de la plasticité. En outre, les résistances ainsi déterminées correspondent très bien avec celles qui ont été mesurées lors des essais. L’application de cette méthode permet donc d’évaluer la sécurité structurale de structures existantes avec une plus grande fiabilité et surtout, d’éviter des renforcements onéreux. Il est à noter que cette méthode ne devrait pas remplacer les méthodes simples, mais tout simplement fournir un outil supplémentaire pour les cas critiques.

Dans le cadre de la recherche proposée, nous souhaitons traiter d’autres cas comme par exemple l’effet de la flexion transversale, les entretoises, les zones d’introduction et de diffusion des efforts concentrés, les articulations Gerber, les extrémités des poutres avec ancrages problématiques et d’autres détails similaires. Il s’agit pour ces cas de valider la méthode, étudier les limites d’applicabilité, de dériver des indications concernant la résistance effective du béton et les inclinations limites des bielles inclinées ainsi que de proposer des solutions rigides – plastiques inspirées des solutions élastiques – plastiques pour les cas les plus fréquents.

Pour ce qui concerne la flexion transversale dans les ponts en caisson, nous proposons d’évaluer l’influence de ces effets sur le comportement réel des ponts en caisson et proposer des indications pour une vérification

Projektbeschreibung (Französisch)

La vérification des détails critiques des structures existantes est faite généralement par la méthode des bielles-et-tirants ou des champs de contraintes rigides – plastiques. Cette deuxième méthode est préconisée aussi par la norme SIA 2622003 (chiffre 4.3.1.1 « Le dimensionnement sera généralement entrepris sur la base de champs de contraintes. »). Elle a le grand avantage de permettre une vérification systématique et consistante d’un grand nombre de détails critiques de ponts existants : âmes de ponts en béton armé précontraint (effet de l’effort tranchant et de la torsion), interaction entre l’effort tranchant et la flexion transversale, entretoises et détail de la suspension de l’effort, zones d’introduction et de diffusion des efforts concentrés (forces d’ancrage des câbles et réactions d’appui), articulations Gerber, piles, détail d’encastrement des piles dans les entretoises et dans les fondations, consoles, ….

La méthode des champs de contraintes rigides - plastiques présente néanmoins certains désavantages (voir Muttoni¹⁹⁹⁰, Muttoni et al.¹⁹⁹⁷):

- la résistance effective du béton doit être estimée sur la base de l’expérience ou des recommandations des normes (typiquement 0.6 f_c dans les âmes) car les déformations ne peuvent pas être déterminées par la méthode rigide - plastique;

- le choix de l’angle d’inclinaison des champs de compression est souvent limité à des valeurs prudentes adoptées pour le dimensionnement, mais qui ne sont pas optimales pour la vérification de structures existantes. En outre, cette inclinaison est généralement admise constante sur la hauteur de l’âme (ce qui ne correspond pas à la réalité).

- la possibilité d’activation des éléments trop souples est difficile à estimer de sorte qu’elle est souvent négligée (contribution à la reprise de l’effort tranchant des zones comprimées, incrément d’effort dans le câble de précontrainte, redistribution de plusieurs éléments en parallèle, ..) ;

- le développement des champs de contraintes rigides - plastiques peut se révéler compliqué et nécessite dans les cas un peu complexes d’une certaine expérience.

Ces limitations des champs rigides-plastiques sont cependant souvent acceptables pour le dimensionnement de structures nouvelles (dimensionnements du côté de la sécurité). En revanche, pour la vérification de structures existantes, ils peuvent conduire à des évaluations trop sécuritaires de la résistance d’une structure, de sorte que des renforcements pas toujours nécessaires peuvent en résulter. Pour résoudre ces problèmes, une méthode basée sur les champs de contraintes élastiques – plastiques a été développée à l’EPFL (Fernández et al.²⁰⁰⁷, Kostic²⁰⁰⁹). Elle est basée sur l’hypothèse d’un comportement élastique - plastique aussi bien pour le béton que pour l’acier d’armature. Le béton est considéré sans résistance à la traction et avec une résistance à la compression en fonction de l’état de déformation (1ère déformation principale selon l’hypothèse de Vecchio-Collins¹⁹⁸⁶).

Cette méthode a été implémentée dans un logiciel aux éléments finis de libre accès (http://i-concrete.epfl.ch). Elle permet ainsi de dimensionner des structures complexes sans faire référence aux exemples connus et de vérifier les structures existantes en tenant compte de toutes les réserves de résistance (figure 2 et rapport OFROU N° 606²⁰⁰⁶) jusqu’à la formation d’un mécanisme selon la théorie de la plasticité (limite supérieure).

Cette caractéristique représente un grand avantage de la méthode puisqu’elle permet de marier l’approche de la borne inférieure selon la théorie de la plasticité (champ de contraintes) avec la borne supérieure (mécanisme), permettant d’obtenir les solutions exactes selon la théorie de la plasticité. Dans les applications pratiques, elle permet donc de vérifier des structures existantes en considérant toutes les réserves de résistance qui sont souvent négligées dans des calculs courants. Il est important à relever, que dans certains cas, l’utilisation de cette méthode permet d’éviter des renforcements inutiles.

Les étudiants formés par l’EPFL ainsi que certains ingénieurs de la pratique utilisent déjà cet outil pour l’apprentissage à la méthode des champs de contrainte, pour la conception de structure particulières et pour la vérification des détails critiques des structures existantes.

Malgré les avantages didactiques de la nouvelle méthode proposée, elle ne devrait par contre pas remplacer les méthodes rigides - plastiques classiques pour les cas courants. En effet, lors de la vérification d’une structure existante aussi bien que pour le dimensionnement d’une nouvelle structure, il est toujours raisonnable de procéder par phases:

i) dans une première phase il faudrait utiliser des méthodes très simples comme par exemple la méthode des bielles-et-tirants ou les équations proposées par les normes ;

ii) si ceci ne suffit pas, les champs de contraintes rigides – plastiques simples représentent un excellent outil ;

iii) dans certains cas il est néanmoins nécessaire d’affiner les champs de contraintes rigides – plastiques afin de considérer l’activation des réserves de résistance spécifiques pour chaque cas et

iv) seulement pour des cas particuliers, quand il est possible d’éviter un renforcement inutile, il est très utile d’utiliser la méthode des champs de contraintes élastiques – plastiques.

Tableau 1 : essais sur poutres précontraintes, comparaison des méthodes d’analyse avec les résultats d’essais (Fernández et al.²⁰⁰⁸), (V_test/V_mod)_m est la moyenne du rapport résistance réelle mesurée / résistance calculée tandis que COV est son coefficient de variation

Méthode		(Vtest/Vmod)m	COV
i)	Équations de la norme SIA 2622003 pour l’effort tranchant	1.19	0.15
ii)	Champs de contrainte rigides – plastiques simplifiés	1.19	0.14
iii)	Champs de contrainte rigides – plastiques affinés	1.09	0.13
iv)	Champs de contraintes élastiques - plastiques	0.98	0.05

Une comparaison des différentes méthodes avec les résultats d’essais effectués en laboratoire sur des poutres précontraintes extraites d’un pont de l’autoroute A2 (projet AGB 2001/486) a montré que pour ces essais (voir tableau 1 et figure 3) :

- les champs de contraintes rigides – plastiques sous-estiment en moyenne les résistances réelles (réserves jusqu’à 40 %), mais à cause de la dispersion importante (figures 3i, 3ii et 3iii), certaines de ces réserves ne peuvent pas être prises en compte ;

- les champs de contraintes élastiques – plastiques permettent de calculer les résistances avec une très bonne précision.

Les réserves des méthodes i) et ii) sont dues au fait que l’incrément de la force dans le câble de précontrainte ainsi que l’effort tranchant repris par les membrures ne sont pas considérés tandis que la réserve de la méthode iii) concerne essentiellement l’effort tranchant dans les membrures. La dispersion assez importante des résultats obtenus avec les champs de contraintes rigides – plastiques est due surtout à l’estimation trop grossière du facteur de réduction k_c (=0.6 selon SIA 262²⁰⁰³).

Pour ce qui concerne les poutres avec étriers suffisants, d’autres comparaisons effectuées à l’EPFL confirment les résultats décrits dans la figure 3. Une recherche en cours (AGB2006/015, Résistance des ponts précontraints avec étriers insuffisants) permettra de considérer aussi le cas des poutres faiblement armées à l’effort tranchant et de valider l’applicabilité de la méthode pour ce cas.

Dans le cadre de la recherche proposée, nous envisageons d’étudier les cas disponibles dans la littérature scientifique concernant les essais effectués sur certains détails complexes représentatifs pour les ponts en béton armé afin de valider la méthode et d’étudier les limites d’applicabilité. Ces problèmes concernent par exemple :

- les zones d’introduction et de diffusion des efforts concentrés (appuis, précontrainte,…),

- les consoles trapues (importantes pour simuler les articulations Gerber),

- les entretoises (y compris le cas de l’appui indirect avec le problème de la suspension de l’effort tranchant),

- les nœuds (zones où se rencontrent les bielles comprimées et les tirants),

- le comportement des colonnes,

- les extrémités des poutres avec ancrages problématiques (importants pour simuler le comportement de l’extrémité des ponts et des poutres préfabriquées). Pour ces cas il est important d’étudier l’inclinaison de la première bielle comprimée en cas de rupture par adhérence (capacité de redistribution de efforts).

Un autre problème que nous souhaitons étudier concerne l’étude de l’influence de la flexion transversale sur la résistance à l’effort tranchant des âmes ainsi que la répartition entre torsion uniforme et torsion non-uniforme dans la section fermée. En effet, pour les situations de projets déterminantes dans l’évaluation des ponts existants, la charge utile se situe généralement sur le porte-à-faux, de sorte que nous avons des moments de flexion importants dans le sens transversal ainsi qu’une torsion non-uniforme importante due au gauchissement de la section (figure 4). Certains de ces effets peuvent être considérés comme des déformations imposées et pourraient être négligés dans une approche rigide-plastique ; d’autres sont par contre nécessaires pour assurer l’équilibre et doivent impérativement être considérés (ponts courbes notamment). Il est à noter, que ces effets sont souvent négligés dans les vérifications malgré l’influence importante de la flexion transversale sur la résistance à l’effort tranchant des âmes (figure 5).

Dans le cadre de la recherche proposée, il s’agit de :

- évaluer l’influence de ces effets sur le comportement réel des ponts en caisson,

- étudier s’ils peuvent être traités efficacement par le biais de la méthode des champs de contraintes élastiques-plastiques, et

- proposer des règles simples pour une vérification simplifiée par le biais de la

méthode des champs de contraintes rigides-plastiques [Türlimann¹⁹⁷⁷, Schlaich et al.¹⁹⁸²].

Erwartete Erkenntnisse/ Nutzen, Nutzniesser (Französisch)

Les résultas attendus de cette recherche sont :

- développement d’une méthode d’analyse permettant de considérer toutes les réserves dans des éléments de structures critiques afin d’éviter des renforcements non indispensables ;

- validation de la méthode des champs de contraintes élastiques-plastiques pour la vérification des détails critiques des ponts en béton armé (définition des limites d’applicabilité et de la fiabilité des résultats, cette validation sera faite en comparant les résultat obtenus aux résistances mesurées dans des essais sur des éléments de structures représentatifs) ;

- règles pour l’utilisation de méthodes simplifiées pour la vérification de structures existantes (angles limites des bielles comprimées, facteurs de résistance k_c, ..) ;

- règles simples pour l’estimation de l’incrément de la force de précontrainte ainsi que pour l’estimation de l’effort tranchant repris par les dalles et les zones comprimées.

Il est à noter que tous le logiciels développés sont et seront disponibles pour n’importe quelle utilisation (applet Java et code source librement accessibles). En outre, les bases théoriques seront décrites explicitement dans des articles scientifiques (voir par exemple [Fernández et al.²⁰⁰⁷] pour ce qui concerne le travail effectué jusqu’à présent).

Methoden (Französisch)

Pour les problèmes 2D il s’agit de :

- comparer la méthode des champs de contraintes élastiques – plastiques et celle des champs de contraintes rigides – plastiques aux essais disponibles dans la littérature scientifique ;

- étudier les limites d’applicabilité des deux méthodes ;

- proposer des solutions rigides – plastiques inspirées des solutions élastiques – plastiques pour les cas les plus fréquents ;

- proposer des valeurs plus adéquates pour les limites des inclinaisons des bielles inclinées (angle a entre les bielles et les armatures tendues) et des valeurs pour les résistances effectives du béton dans les bielles et dans les nœuds applicables pour la méthode des champs de contraintes rigides – plastiques (facteurs k_c) ;

- proposer des solutions simples et étudier la précision obtenue ;

- étudier les valeurs statistiques des différentes méthodes afin de proposer un format de sécurité utilisable dans la prochaine génération de normes au niveau national et international.

Pour le problème de l’effet de la flexion transversale sur la résistance des âmes des ponts en caisson nous envisageons de :

- Généraliser la méthode des champs de contraintes élastiques-plastiques en adaptant l’approche et le logiciel des champs élastiques-plastiques déjà développé [Fernández et al.²⁰⁰⁷] pour résoudre des cas 3D (le logiciel développé à l’EPFL permet de traiter uniquement des cas 2D ; il s’agit d’adapter ce logiciel pour traiter les cas où plusieurs voiles sont composés dans l’espace ainsi que de traiter la flexion transversale par le biais d’un modèle multi-couches ou sandwich. En alternative le modèle pourrait être implémenté dans un logiciel MEF disponible sur le marché).

- Valider les résultats ainsi obtenus par le biais d’une comparaison avec les essais réalisés à Zurich [Kaufmann et al.¹⁹⁷⁶ et suivants], Munich [Ewald¹⁹⁷⁷], Toronto [Polak et al.¹⁹⁹⁴ et suivants] et dans d’autres universités.

- Etudier l’influence de la flexion transversale sur la résistance des âmes de ponts en caisson avec des dimensions et des géométries usuelles en Suisse.

Allgemeiner Stand der Forschung (Französisch)

Pour ce qui concerne l’approche rigide-plastique, un travail de recherche important a été réalisé à l’ETHZ et à l’Université de Copenhague depuis les années ’60 (voir un résumé de ces travaux dans Muttoni et al.¹⁹⁹⁷, Marti et al.¹⁹⁹⁹, Nielsen¹⁹⁹⁹).

Une approche similaire, mais en considérant partiellement la compatibilité, la résistance à la traction du béton et l’influence des déformations sur la résistance à la compression du béton a été développée à l’Université de Toronto (Vecchio et al.¹⁹⁸⁶, Collins et al.¹⁹⁹¹). Cette approche est relativement compliquée et permet uniquement de traiter des poutres avec section constante et sans précontrainte inclinée. Elle est difficilement utilisable pour des cas réels avec géométries irrégulières.

Pour pallier à cette limite, des logiciels basés sur la méthode des éléments finis non-linéaires ont été développés par plusieurs groupes de chercheurs (Vec-tor, Abaqus, Atena, …). En théorie on peut ainsi considérer un grand nombre d’effets (comportement non-linéaire et triaxial du béton, écoulement des armatures, comportement non-linéaire de l’adhérence acier-béton, ..). La pratique montre néanmoins que ces outils demandent une très grande expérience et sont difficilement maîtrisables par les ingénieurs de la pratique (la modélisation n’est pas toujours facile). Surtout grâce au fait qu’un grand nombre de paramètres peut être choisi, avec ces outils il est souvent possible de calculer avec une grande précision la charge de rupture d’essais effectués. Cet avantage (nombre de paramètres) devient par contre le problème principal quand il s’agit de prédire le comportement d’un essai avant d’en connaître les résultats (Bentz²⁰⁰⁷, Jaeger et al.²⁰⁰⁹) ou de prédire le comportement d’une structure existante.

Une approche intermédiaire a été choisie par notre Laboratoire à l’EPFL (Fernández et al.²⁰⁰⁷). Il s’agit d’un logiciel basé sur la méthode des éléments finis avec un comportement élastique-plastique et très peu de paramètres (f_c, E_c, f_y et E_s) qui permet de générer des champs de contraintes similaires à ceux qui pourraient être obtenus avec la méthode classique. En outre, l’équilibre est parfaitement satisfait et les hypothèses sont très similaires à celles préconisées par la norme SIA 262 (résistance à la traction du béton négligée, ..) pour le dimensionnement et la vérification de structures existantes. Il est prévu d’améliorer prochainement la représentation graphique de sorte qu’on pourra obtenir les efforts sur des coupes choisies afin de faciliter le contrôle et l’interprétation des résultats.

Projektziele (Englisch)

The aims of the investigation are to develop and to validate a general approach to assess the strength and behavior of critical regions of existing structures. This approach will allow considering all possible load-carrying mechanisms to avoid an unnecessary strengthening of the structure.

On the basis of the general approach, to provide a series of guidelines for assessment of such structures using rigid-plastic stress fields (design method followed by Swiss code SIA 262).

To provide a series of improved simplified methods for assessment of such structure

Projektziele (Französisch)

Développer et valider une méthode générale de vérification des détails critiques des structures existantes où toutes les réserves de résistance peuvent être prises en compte afin d’éviter des renforcements inutiles.

Fournir des indications sur la base de la méthode générale pour les choix à effectuer lors d’une vérification avec la méthode des champs de contraintes rigides – plastiques (méthode préconisée par la norme SIA 262).

Fournir des indications pour des méthodes simplifiées plus performantes.

Forschungsplan (Französisch)

1ère année

2ème année

3ème année

Validation de la méthode des champs de contraintes élastiques-plastiques pour les cas pratiques (2D) et définition des limites d’applicabilité

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Adaptation du logiciel pour permettre de traiter des cas 3D

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Dérivation des règles pour l’utilisation de méthodes simplifiées pour la vérification de structures existantes (angles limites des bielles comprimées, facteurs de résistance kc, ..)

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Dérivation de règles simples pour l’estimation de l’incrément de la force de précontrainte ainsi que pour l’estimation de l’effort tranchant repris par les dalles comprimées

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Rédaction du rapport OFROU

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Umsetzung und Anwendungen (Französisch)

Les destinataires de ces résultats sont les ingénieurs mandatés pour la vérification des structures existantes ainsi que les experts et les représentants du maître d’ouvrage dans ce domaine.

Les résultats seront présentés sous forme de rapport OFROU, de publications techniques et scientifiques ainsi que lors de journées d’études (nous prévoyons d’organiser une journée d’étude en 2012-2013 sur les méthodes d’analyse et vérification des structures existantes).

Les résultats plus importants pourront être considérés lors des futures révisions des normes SIA concernant les structures existantes.

Le logiciel basé sur la méthode des champs élastiques-plastiques (Fernández et al. ²⁰⁰⁷) est de libre accès pour les étudiants et les ingénieurs de la pratique. Les adaptations prévues dans le cadre de la recherche proposée seront intégrées dans ce logiciel. En outre, nous prévoyons de rendre plus visible cet accès et de rendre le logiciel plus facilement utilisable par les ingénieurs de la pratique.

Berichtsnummer (Deutsch)

680

Literatur (Französisch)

1] Muttoni A. (1990) , Die Anwendbarkeit der Plastizitätstheorie in der Bemessung von Stahlbeton, Birkhäuser Verlag, Institut für Baustatik und Konstruktion ETH Zürich, 176, Basel, Switzerland, 158 p.

[2] Muttoni A., Schwartz J., Thürlimann B. (1997), Bemessung von Betontragwerken mit Spannungsfeldern, Birkhäuser Verlag, 145 p., Basel, Switzerland.

[3] Fernández Ruiz M., Muttoni A. (2007), On Development of Suitable Stress Fields for Structural Concrete, ACI, Structural Journal, Vol. 104 n°4, pp. 495-502, Farmington Hills, USA.

[4] Kostic N. (2009), Topologie des champs de contraintes pour le dimensionnement des structures en béton armé, Thèse EPFL, N° 4414, 235 p., Lausanne, Switzerland.

[5] Fernández Ruiz M., Hars E., Muttoni A. (2006), Résistance à l'effort tranchant des poutres précontraintes à âmes minces, Rapport OFROU, N° 606, 68 p., Bern, Switzerland.

[6] Fernández Ruiz M., Muttoni A (2008)., Shear strength of thin-webbed post-tensioned beams, ACI Structural Journal, V. 105 No 3, pp. 308-317, USA.

[7] Vecchio, F. J., and Collins, M. P. (1986), “The Modified Compression Field Theory for Reinforced Concrete Elements Subjected to Shear,” ACI JOURNAL, Proceedings V. 83, No. 2, Mar.-Apr., pp. 219-231.

[8] Thürlimann, B. (1977), Schubbemessungen bei Querbiegung, Schweizerische Bauzeitung, Schweizerische Bauzeitung, Vol.95 (1977), pp. 478-81.

[9] Kaufmann J., Menn C (1976), Versuche über Schub bei Querbiegung, Versuchsbericht Nr. 7201-1, Institut für Baustatik und Konstruktion, ETH Zürich, Dezember 1976, Birkhäuser Verlag, Basel und Stuttgart.

[10] Schlaich, J., Scheef, H., (1982), Concrete Box-Girder Bridges, IABSE-Reports, 108 p.

[11] Ewald, G. (1977), Überlagerung von Scheiben- und Plattentragwirkung am Beispiel stark profilierter Stahlbeton- und Spannbetonträger bei hoher Schub- und begrenzter Querbiegebeanspruchung, Institut für Bauingenieurwesen III, Technische Universität München, 211p., München.

[12] Polak, M.A., and F.J. Vecchio (1994), Reinforced Concrete Shell Elements Subjected to Bending and Membrane Loads, ACI Structural Journal, Vol. 91, No.2, pp 261-268

[13] Marti, P., Alvarez, M., Kaufmann, W., und Sigrist, V. (1999), Tragverhalten von Stahlbeton, Institut für Baustatik und Konstruktion, ETH Zürich, IBK Publikation SP-008, Sept. 1999, 301 p.

[14] Nielsen, M.P. (1999), Limit analysis and concrete plasticity, 2nd Edition, CRC Press, 908 p.

[15] Collins, M.P., and Mitchell, D. (1991), Prestressed Concrete Structures, Prentice Hall, 766 p.

[16] Jaeger, Th, and Marti, P. (2009), RC Slab Shear Prediction Competition: Entries and Discussion, ACI Structural Journal, V. 106, No. 3, May-June 2009, pp. 309-318

[17] Bentz, E. (2007), Workshop on Assessment Methods for Determining the Shear Strength of Existing Structures, Rotterdam, rapport non publié sur les résultats de la compétition organisée le 6 Décembre 2007 à Rotterdam.